PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

A.     Kuadrat

Persamaan diartikan sebagai kalimat matematika terbuka yang menggunakan lambing “sama dengan” dan hanya dipenuhi oleh nilai tertentu.

1.      Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertingginya berderajat dua, dan dapat ditulis dalam variabel x. Dalam bentuk umum persamaan ditulis sebagai berikut

a adalah koefisien dari x²

b adalah koefisien dari x

c adalah konstanta

contoh :

a.       5x² + 7x – 10 = 0

Penyelesaian :

a = 5, b = 7, dan c = 10

2.      Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 disebut akar-akar persaman kuadrat, yaitu x real yang mengakibatkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 menjadi persamaan yang benar. Adapun cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan :

a.       Memfaktorkan

b.      Melengkapkan kuadrat sempurna

c.       Menggunakan rumus kuadrat

a.       Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Dalam menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan dapat menggunakan sifat dari operasi bilangan real, yaitu :

1)     Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0,

Persamaan kuadrat ax² + bx = 0 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut :

Û

Û

Û    x = 0 atau ax + b = 0

Û    x ₁ = 0 atau x₂ =

contoh :

Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat dari :

5x² – 10x = 0

Penyelesaian :

5x² – 10x = 0

Û    5x (x – 2) = 0

Û    5x = 0 atau x – 2 = 0

Û    x₁ = 0 atau x₂ = 2

2)     Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan b = 0 atau ax² + c = 0

Persamaan kuadrat bentuk ax² + c = 0 akan mempunyai penyelesaian jika ac < 0.

Contoh :

x² – 5 = 0

Penyelesaian :

x² – 5 = 0

Û    x² – 5 = 0

Û   

Û   

Û   

Jadi penyelesaiannya adalah x₁ =  atau x₂ =

3)     Persamaan Kuadrat dengan bentuk ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c ≠ 0

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk ax² + bx + c = 0 dapat dibedakan persamaan menjadi a = 1 dan a ≠ 1

Û    Untuk a = 1

ax² + bx + c = 0

Û    ax² + bx + c = 0 untuk a +  = b, dab a .  = c, maka

Û    x² + (a + ) x + (a . ) = 0

Û    (x² + ax) + ( + a . ) = 0

Û    x(x + a) + (x + a)=0

Û    (x + a) (x + =0

Û    (x + a) = 0 atau (x + = 0

Û    x­₁ = -a atau x₂ = -

Jadi penyelesaiannya adalah x₁ = -a atau x₂ = -

Contoh :

Tentukan Penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini :

x² + 5x + 6 = 0

Penyelesaian :

 x² + 5x + 6 = 0

Û    x² + (2+3)x + (2 . 3) = 0

Û    (x² + 2x) + (3x + 2 . 3) = 0

Û    x(x + 2) + 3(x+2) = 0

Û    (x + 2) (x + 3) = 0

Û    x + 2 = 0 atau x + 3 = 0

Û    x₁ = -2 atau x₂ = -3

Jadi  penyelesaiannya adalah x₁ = -2 atau x₂ = -3

Û    untuk a ≠ 1

Bentuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan  dan .

Contoh :

Tentukan Penyelesaian persamaan kuadrat dari :

3x² + x – 2 = 0

Penyelesaian :

3x² + x – 2 = 0, dengan a = 3, b = 1, dan c = -2

Dipilih α = 3; β = -2, karena  =3 . (-2) = -6

3x² + x – 2 = 0

Û    3x² + 3x – 2x – 2 =0

Û    (3x² + 3x) – (2x + 2) = 0

Û    3x(x + 1) – 2(x + 1) = 0

Û    (x + 1) (3x – 2) = 0

Û    x + 1 = 0 atau 3x -2 = 0

Û    x₁ = -1 atau x₂ =

Jadi, penyelesaiannya adalah x₁ = -1 atau x₂ =

b.      Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan memfaktorkan, tetapi semua persamaan kaudrat dapat diselesaikan dengan cara melengkapkan kaudrat sebagai berikut :

ax² + bx + c = 0 Û

Û    (x + p)² = q

Û    (x + p) =

Û    X_1,2 = -p

Contoh :

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini

x² + x – 7 = 0

Penyelesaian :

Û    x² + x – 7 = 0

Û    x² + x = 7

Û   

Û   

Û   

Û   

Û   

Û   

Û   

Û     atau

c.       Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

Rumus kuadrat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut :

ax² + bx + c = 0, dengan a ≠  0

Û    (Kedua rumus dikalikan )

Û   

Jadi setelah diuraikan dengan beberapa contoh, maka untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat menggunakan rumus :

 atau

Atau secara singkat dapat ditulis :

Contoh :

Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut :

3x² + 4x – 1 = 0

Penyelesaian :

3x² + 4x – 1 = 0, berarti a = 3, b = 4, dan c = 1

x_1,2      =

           =

           =

           =

           =

           =

Jadi, penyelesaiannya x₁ =  atau x₂ =

3.      Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Salah satu cara mencari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan a ≠  0 dapat menggunakan rumus abc yaitu :

a.        hanya terdefinisi bila a ≥ 0 (tidak ada akar bilangan negatif)

b.      Bila a ≥ 0, maka   ≥ 0 (tidak ada nilai akar yang negatif)

c.       Satuan bilangan imajiner atau bilangan khayal dilambangan dengan

Contoh :

Tentukanlah nilai m sehingga persamaan x² + 2mx + 9 = 0 mempunyai :

a.       Dua akar yang real dan berbeda

Penyelesaian :

x² + 2mx + 9 = 0, berarti a = 1, b = 2m, dan c = 9

maka nilai diskriminannya adalah :

D = b² – 4ac

D = (2m)² – 4.(1).(9)

    = 4m² – 36

Dua akar real yang berbeda, syarat D > 0

Karena D = 4m² – 36

Maka 4m² – 36 > 0

Û    m² – 9 > 0

Û    (m + 3) (m-3) > 0

4.      Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika persamaan ax² + bx + c = 0, a ≠  0 mempunyai dua akar x­₁ dan x₂ dengan rumus abc diperoleh :

 atau

Dari rumus abc ini kita dapat menurunkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.

a.       Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat

           Û       

           Û        +

                                              

                                              

                                              

Jadi, jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah

b.      Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Û   

Û   

Û   

Û   

Jadi, hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah  

c.       Akar-akar Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0 Berkebalikan

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar-akar yang berlawanan jika :

d.      Akar-akar Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0 Berlawanan

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar-akar yang berlawanan jika :

e.       Akar-akar Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0 Real dan Berbeda Tanda

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar real dan berbeda tanda jika D > 0 dan x₁ . x₂ < 0. Jadi,

f.        Akar-Akar Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0 Sama Tandanya

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar yang sama tandanya jika D>0 dan x₁ . x₂ > 0. Jadi,

g.       Jumlah Pangkat n Akar-Akar Persamaan Kuadrat

h.      Pangkat n Jumlah Akar-Akar Persamaan Kuadrat

i.         Bentuk – Bentuk yang Diubah ke dalam Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

Contoh :

Tentukanlah jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

2x² – x – 4 = 0

Penyelesaian :

Persamaan kuadrat 2x² – x – 4 = 0, berarti a = 2, b = -1, dan c = -4.

Jika akar-akar persamaan 2x² – x – 4 = 0 adalah x₁ dan x­₂ maka

5.      Cara Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya

Persamaan kuadrat dapat disusun jika diketahui akar-akarnya. Penyusunan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan cara perkalian faktor, menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar, dan jika akar-akar persamaan kuadrat yang dicari ada kaitannya dengan akar-akar persamaan kuadrat lain.

a.       Perkalian Faktor

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a ≠  0 dengan akar-akar persamaannya adalah x­₁  dan x₂ dapat dinyatakan dalam bentuk :

b.      Penggunaan Rumus Jumlah dan Hasil Kali

Persamaan kuadrat + bx + c = 0, a ≠  0 dapat dinyatakan sebagai . Jika hubungan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya

  dan x₁ . x_{2 = ,} maka persamaan  dapat dinyatakan sebagai berikut.

Contoh :

Tentukanlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya 7 dan -5.

Penyelesaian :

Akar-akar persamaan kuadratnya adalah 7 dan -5. Jadi, x₁ = 7 dan x_­2 = -5

x₁ + x₂ = 7 + (-5) = 2

x₁ + x₂ = 7 + (-5) = -35

persamaan kuadratnya            x² – (x₁ + x₂)x + x₁ . x₂ = 0

                                                           Û x² – 2x + (-35) = 0

Jadi persamaan kuadratnya adalah x² – 2x -35 = 0

c.      Jika Akar-akar Persamaan Kuadrat yang Dicari ada kaitannya dengan akar-akar persamaan kuadrat Lain

Penyusunan kembali persamaan kuadrat dapat dilakukan apabila akar-akar persamaan kuadrat tersebut ada hubungannya dengan akar-akar persamaan kuadrat lain, yaitu dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar.

Contoh :

             Akar-akar persamaan x² + 2x -4 =0 adalah x₁ dan x₂. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya :

2x₁ dan 2x₂                                

Penyelesaian :

x₁ dan x₂ akar-akar persamaan kuadrat x2 +2x -4 =0 maka x₁ + x₂ = -2, x₁ . x₂ = -4

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang diminta adalah α dan β. Dengan demikian α = 2x₁ dan β = 2x₂, maka :

α + β = 2x₁ + 2x₂                                     α . β = 2x₁ . 2x₂

α + β = 2(x₁ + x₂)                  α . β = 4x₁ . x₂

α + β = 2(-2)                         α . β = 4(-4)

α + β = -4                               α . β = -16

B.     Fungsi Kuadrat

1.      Fungsi Sebagai Relasi Khusus

Pak Udi mempunyai tiga orang anak, yaitu Ade, Ihsan, dan Siti. Sedangkan Pak Komar hanya mempunyai dua orang anak yaitu Heri dan Dinda. Sementara Pak Rasid tidak mempunyai anak.

Dari ilustrasi diatas terlihat bahwa terdapat kelompok yang terdiri dari kelompok anak-anak dan kelompok ayah. Bila himpunan ayah dinyatakan dengan A dan himpunan anak dinyatakan dengan B, maka :

A ={Udi, Komar, Rasid}

B = {Ade, Ihsan, Siti, Heri, Dinda}

Suatu bentuk disebut hubungan atau relasi jika :

1.      Terdapat 2 buah himpunan

2.      Ada aturan yang menghubungkan kedua himpunan trsebut.

Suatu relasi dinotasikan : f : A               B (dibaca suatu aturan f menghubungkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B).

A disebut Domain atau daerah asal

B disebut Kodomain atau daerah kawan

C Ì B disebut Range atau daerah hasil

Relasi atau hubungan dapat dinyatakan dalam bentuk :

a.       Diagram panah

b.      Pasangan berurutan

c.       Grafik, dan

d.      Rumus atau aturan

Seandainya dari ilustrasi diatas dibuat setelah sebuah relasi lain yang terbalik yakni f : B              A dengan aturan yang menghubungkan kedua himpunan tersebut adalah anak dari, maka kita akan melihat suatu bentuk lain dari relasi.

Perhatikan diagram panah berikut :

A               ayah dari      B                                  B          anak dari      A

Pada diagram (i) terdapat x € A (domain) yang tidak terpasangkan dan terdapat x € A (domain) berpasangan dengan lebih dari satu y € B (domain) terpetakan dengan satu y € A (kodomain).

Untuk selanjutnya bentuk (ii) disebut Fungsi atau Pemetaan.

Definisi :

F : A           B disebut fungsi atau pemetaan, yaitu suatu relasi khusus yang memetakan setiap x € A dengan tepat satu (unik) y € B.

Jika fungsi f memetakan setiap x € A tepat satu ke y € B, maka bentuk f : A           B dapat ditulis dalam bentuk f : x             y dapat ditulis dalam bentuk f : x                       B merupakan peta dari x € A oleh suatu aturan f maka bentuk f : x              Y dapat ditulis  dalam